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Condiciones de No Arbitraje: ¿Existen los almuerzos gratis?

¿Qué son las condiciones de no arbitraje?

En términos simples y fáciles de entender la condición de NO ARBITRAJE es un supuesto que implica que no hay “almuerzos gratis” como se dice en inglés o que “nadie te regala nada” como es el dicho en el idioma español.
En pocas palabras: cualquier contrato que involucre un activo financiero (acciones, bonos, etc) y que tengan flujos de fondos mayores o iguales a cero en el futuro (es decir que no sean negativos) va a tener un precio igual o mayor a cero.
 
Si tenemos un contrato del que sólo sabemos que los flujos de fondos futuros de ese contrato van a ser mayores o iguales a cero entonces lo que nos dice la condición de no arbitraje débil es que el precio de ese contrato (en este caso un bono) sí o sí tiene que ser mayor o igual a cero.
 
Por otro lado, si sabemos que de los flujos de fondos futuros de ese contrato al menos 1 va a ser mayor a cero, entonces por condición de arbitraje fuerte sé que el precio de ese contrato sí o sí tiene que ser mayor a 0 ya que en algún momento del futuro me están pagando algo y por lo tanto el precio de ese contrato no puede ser ni negativo ni valer cero ya que en esos casos siempre va a haber compradores dispuestos a ofertar.

Demostración Formal de No Abitraje

Veamos ahora una demostración un poco más formal de este principio en el que se basan muchos de los modelos de ingeniería financiera desarrollados en los últimos años.
Cómo se define un contrato que nos garantiza flujos de fondos futuros:
 
tipos de contratos financieros
Componentes de un contrato financiero.
El precio se paga en el momento o en el año 0 y en los años o períodos sucesivos tengo flujos de fondos mayores o iguales a cero.
 
Hay algunos supuestos básicos que se tienen que cumplir para que las condiciones de no-arbitraje funcionen y estos tienen que ver con:
  • que haya mercados líquidos con suficientes compradores y vendedores,
  • que la información de precios esté disponible para todo el mundo y no solo de precios sino también de los flujos de fondos futuros a recibir
  • y por último que haya competencia en la oferta y en la demanda que haga que las condicione de no-arbitraje funcionen.
supuestos de condiciones de no arbitraje
Supuestos Básicos Del No Arbitraje.
Veamos ahora una notación un poco más técnica de ambas condiciones de no-arbitraje:
 
condiciones de no arbitraje: notación técnica
Notación: condiciones de no arbitraje.

Demostración de No Arbitraje: Forma Débil y Forma Fuerte

Básicamente lo mismo que decíamos más arriba. Pero ahora sería interesante poder hacer una demostración en base a estos supuestos:
 
demostración de no arbitraje débil
Pasos para la demostración de no arbitraje débil
 
Para los dos tipos de arbitraje, ahí se observa qué pasaría si el precio del contrato es negativo en el caso del no-arbitraje débil y qué pasaría en el caso del no-arbitraje fuerte si el precio del contrato es menor o IGUAL a cero.
Básicamente cualquier participante del mercado seguiría ofertando por ese contrato hasta que el precio sea al menos 0.
 
Estas dos condiciones son las que puede garantizar como mínimo la condición de no-arbitraje en sus dos versiones.

Ejemplo: Determinar el Precio de un Bono

Ahora veamos un ejemplo de ambos tipos demostrando cuál debería ser el precio de un bono:
 
determinación precio de un bono
Cómo se determinar el precio de un bono a través de las condiciones de no arbitraje
 
En el caso del portafolio Z que se compone de un bono comprado a un precio “p” (el precio que queremos averiguar) y cierta cantidad de efectivo que se pidió prestada a la tasa “r”.
Como el flujo de fondos en el período 1 es “0”, la condición débil de no-arbitraje nos dice que el precio p del bono debería ser mayor o igual al flujo de fondos A en el año 1 descontado a la tasa “r”.
 
Ahora veamos el caso del portafolios Nro. 2:
 
determinación del precio de un bono
Determinación del precio de un bono: continuación.
 
Finalmente en el caso del portafolios número 2 podemos ver que vendemos un bono al precio “p” que vamos a tener que pagar en el año 1 a un flujo de fondos que va a incluir los intereses “r”. Además prestamos un monto determinado a un interés “r”.
 
Si al fin del año 1 el flujo de fondos va a ser 0, entonces (por condición de no-arbitraje débil) podemos decir que «z» el precio del portafolio va a ser mayor o igual a 0.
Si esto ocurre también pasa que “p” el precio del bono debería ser menor o igual a A/(1+r).

CONCLUSIÓN

Si juntamos la conclusión del ejercicio del portafolio Nro. 1 y la juntamos con la conclusión del ejercicio Nro. 2 entonces tenemos que el precio del bono “p” es IGUAL a A/(1+r) por condiciones de no-arbitraje y asumiendo que podemos prestar y tomar prestado libremente a la tasa “r”.

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